Representación de Numeros Binarios

Números Binarios

Es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente dos cifras: cero y uno (0 y 1). Es uno de los sistemas que se utilizan en las computadoras, debido a que estas trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

Representación Interna

Un número binario puede ser representado por cualquier numeros_binariossecuencia de bits (dígitos binarios), que suelen representar cualquier mecanismo capaz de usar dos estados mutuamente excluyentes. Las siguientes secuencias de símbolos podrían ser interpretadas como el mismo valor numérico binario:

1 0 1 0 0 1 1 0 1 1

Número Flotante

Es una forma de notación científica usada en los microprocesadores con la cual se pueden representar números racionales extremadamente grandes y pequeños de una manera muy eficiente y compacta, y con la que se pueden realizar operaciones aritméticas. El estándar para la representación en coma flotante es el IEEE 754.

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En un ordenador típico los números en punto flotante se representan de la manera descrita en el apartado anterior, pero con ciertas restricciones sobre el número de dígitos de q y m impuestas por la longitud de palabra disponible (es decir, el número de bits que se van a emplear para almacenar un número). Para ilustrar este punto, consideraremos un ordenador hipotético que denominaremos MARC-32 y que dispone de una longitud de palabra de 32 bits (muy similar a la de muchos ordenadores actuales). Para representar un número en punto flotante en el MARC-32 los bits se acomodan del siguiente modo: Sin título.png

Mantisa

Se refiere a la diferencia entre un número y su parte entera, es decir, su parte fraccionaria, o sea es la parte decimal de un algoritmo.

  • En el número decimal 123,7585, la parte entera es 123 y la mantisa es 0,7585.
  • En el número decimal negativo -17,228, la parte entera es -18 y la mantisa es 0,772

En un número de punto flotante es el valor que sigue a la potencia de la base.
Dependiendo de la interpretación del exponente, la mantisa puede tener varios formatos:

  • Normalización: La mantisa es un número real cuya parte entera sólo consta de un dígito — que será la primera cifra significativa del valor a representar. Por ejemplo, el número en sistema decimal 123,457 puede ser representado en punto flotante normalizado como 1,23457 con exponente +2.
  • Número entero: La mantisa es un número entero. En este formato, el número 123,457 podría ser representado como 123457 con exponente -3.


Cuando se usan mantisas normalizadas en el sistema binario, la primera cifra (bit) significativa ha de ser necesariamente 1. Este primer bit no se suele expresar en el campo de la mantisa y está implícito, de ahí que se llame el bit oculto. De esta forma se ahorra un bit en la representación que puede ser usado para indicar un bit significativo adicional.
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Conversión entre números binarios y decimales

  • Conversión de Decimal a Binario

Este proceso es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos. 

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Queremos convertir el número 28 a binario, es simple:

28 dividimos entre 2 : Resto 0
14 dividimos entre 2 : Resto 0
7 dividimos entre 2 : Resto 1
3 dividimos entre 2 : Resto 1 y cociente final 1

Entonces el primer número del número equivalente en binario sería el cociente último que es 1, el segundo número del equivalente el resto ultimo, que también es 1, la tercera cifra del equivalente sería el resto anterior que es 1, el anterior que es 0 y el último número de equivalente en binario sería el primer resto que es 0 quedaría el 11100.

Por lo que el número 28 representado en binario sería: 11100.

pasar de binario a decimal

  •  Conversión de binario a decimal

El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.

Por ejemplo, para convertir el número binario 10100112 a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:

1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 83

10100112 =8310

Otro Ejemplo

de binario a decimal

 Números Binarios Negativos

Además de los números binarios comunes, también existen números binarios negativos como en cualquier sistema de numeración que sirve para dar un valor a los objetos, y en este caso un valor negativo a los mismos.

Existen varias maneras de representar un número negativo en binario, pero puesto que en el sistema no existe otro símbolo que no sea el 1 o el 0, entonces se deben idear un parámetro de interpretación que debe ser especificado antes para evitar confusiones. Estos son el complemento a uno y el complemento a dos.

Resultado de imagen de conversion numeros binarios negativos

Representación

Debido a que muchas computadoras y calculadoras digitales manejan números negativos y positivos, se necesita algún medio de representación para el signo del número (+/-). Esto se lleva a cabo en general agregando otro bit al número, denominado bit del signo. En términos generales la convención común que se a adoptado es que un cero en el bit del signo representa un número positivo y un uno, representa un número negativo.

Ejemplo

El registro A contiene los bits 0110100, el contenido cero en el bit de mas a la izquierda (A6) es el bit del signo que representa al signo (+). Los otros seis bits son la magnitud del número, que es igual a 5210. 

A6 A5 A4 A3 A2 A1 A0
0    1    1    0    1   0    0

  0    110100
(+)   Magnitud del numero

De este modo el número almacenado en el registro A es +52. El bit del signo se usa para indicar si un número binario almacenado es positivo o bien negativo. Para los números positivos, el resto de los bits se utilizan siempre para representar la magnitud del numero en forma binaria.

Complemento a 1’s

El complemento a uno de un número binario es una operación matemática que nos permite obtener la representación binaria de números negativos. Se obtiene al cambiar cada uno de los dígitos del número binario N por su complementario, estSin título.pngo es, cambiar los unos por ceros y los ceros por unos.

Por ejemplo

Número binario = {\displaystyle (001010110)_{2}=(86)_{10}}

Complemento a uno =  {\displaystyle (110101001)_{2}=(-86)_{10}}

Podemos referirnos al complemento a uno como la función complemento a uno {\displaystyle C_{1}^{N}}, que también se puede definir como el complemento a dos menos una unidad, es decir  {\displaystyle C_{1}^{N}=C_{2}^{N}-1}. Es trivial a partir de la definición anterior, que el complemento a dos se puede definir como C_{2}^{N}=C_{1}^{N}+1.

Por ejemplo, vamos a calcular el complemento a 1 del número {\displaystyle (45)_{10}} que, expresado en binario {\displaystyle (101101)_{2}} tiene 6 dígitos:

                                N=45; {\displaystyle n=6};  {\displaystyle 2^{6}=64}

su complemento a dos es: {\displaystyle C_{2}^{N}=2^{n}-N=64-45=19=(010011)_{2}} y, su complemento a uno es una unidad menor:

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Existe una desventaja a la hora de utilizar el complemento a uno para representar números negativos que hace más adecuado el complemento a dos, y es que existen dos posibles representaciones para el número cero.

Complemento a 2’s

El complemento a dos de un número N que, expresado en el sistema binario está compuesto por n dígitos, se define como:C_{2}^{N}=2^{n}-Na

El total de números positivos será 2^{{n-1}}-1 y el de negativos 2^{n-1}, siendo n el número máximo de bits. El 0 contaría aparte.

Veamos un ejemplo: tomemos el número N=45 que, cuando se expresa en binario es N = 101101 N=101101_{2}, con 6 dígitos, y calculemos su complemento a dos:

N=45, n=6; 2^{6}=64 y, por lo tanto: C_{2}^{N}=64-45=010011_{2}

Puede parecer farragoso, pero es muy fácil obtener el complemento a dos de un número a partir de su complemento a uno, porque el complemento a dos de un número binario es una unidad mayor que su complemento a uno, es decir:  C_{2}^{N}=C_{1}^{N}+1

Cabe señalar que en este ejemplo se ha limitado el número de bits a 6, por lo que no sería posible distinguir entre el -45 y el 19 (el 19 en binario es 10011). En realidad, un número en complemento a dos se expresa con una cantidad arbitraria de unos a la izquierda, de la misma manera que un número binario positivo se expresa con una cantidad arbitraria de ceros. Así, el -45, expresado en complemento a dos usando 8 bits sería 11010011, mientras que el 19 sería 00010011; y expresados en 16 bits serían 1111111111010011 y 0000000000010011 respectivamente. Se presenta la tabla de verdad del complemento a 2 para cuatro dígitos.

Suma y Resta en Complemento a Dos

El complemento 1 y 2 son muy semejantes pero el complemento 2 generalmente es mas usado debido a las ventajas que representa al aplicarse en circuitos.

Ejemplo 1

La suma de 2 números positivos +9 y +4

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Ejemplo 2

Un número positivo y un número negativo menor.

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Este acarreo se desprecia de manera que el resultado es 00101 (+5)

Ejemplo 3

Un número positivo y un numero negativo mayor.

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Se le saca el complemento 2

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Se le agrega el bit de signo 10101 (-5).

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